Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas através de métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria - Triângulo-Retângulo:
- Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
- Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
- Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
- Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.Termo | Origem da palavra |
---|---|
Cateto | Cathetós: (perpendicular) |
Hipotenusa | Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) |
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
- Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
- Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
- Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:- o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
- o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
- o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.- m = projeção de c sobre a hipotenusa.
- n = projeção de b sobre a hipotenusa.
- a = m+n.
- h = média geométrica entre m e n.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo | hipotenusa | cateto maior | cateto menor |
---|---|---|---|
ABC | a | b | c |
ADC | b | n | h |
ADB | c | h | m |
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.Função | Notação | Definição |
---|---|---|
seno | sen(x) | medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa |
cosseno | cos(x) | medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa |
tangente | tan(x) | medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x |
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
|
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
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